11. Sınıf Matematik MEB Yayınları Ders Kitabı Sayfa 100 Cevapları
6. Soru: Köşegenleri Dik Kesişen Dörtgen Teoreminin İspatı
Soru Metni:
Aşağıda dörtgenlerin köşegen özellikleriyle ilgili bir önerme verilmiştir.
Aşağıda dörtgenlerin köşegen özellikleriyle ilgili bir önerme verilmiştir.
- Önerme: Köşegenleri dik kesişen herhangi bir dörtgende karşılıklı kenar uzunluklarının kareleri toplamı birbirine eşittir.
- İspatlanacak İfade: Bir ABCD dörtgeninde köşegenler dik kesişiyorsa, karşılıklı dış kenarların kareleri toplamı birbirine eşittir. Yani; (AB kenarının karesi) + (CD kenarının karesi) = (BC kenarının karesi) + (AD kenarının karesi) ifadesi her zaman doğrudur.
Yazılım Adımlarının Matematiksel İspat Raporu:
- Yazılımda oluşturulan AC ve BD köşegen doğruları E noktasında dik kesişmektedir. Bu durum kesişim noktasının etrafında 4 adet dik üçgen oluşturur. Bu üçgenler; AED, AEB, BEC ve CED üçgenleridir.
- Bu dik üçgenlerin her birinde Pisagor Bağıntısı uygulandığında, dörtgenin dış kenarlarının kareleri şu şekilde elde edilir:
- AD kenarının karesi = AE karesi + ED karesi
- BC kenarının karesi = BE karesi + EC karesi
- AB kenarının karesi = AE karesi + BE karesi
- CD kenarının karesi = CE karesi + ED karesi
- Karşılıklı ikişer kenarın kareleri tarafa tarafa toplandığında şu sonuçlar çıkar:
- Birinci grup: (AD karesi) + (BC karesi) = AE karesi + ED karesi + BE karesi + EC karesi
- İkinci grup: (AB karesi) + (CD karesi) = AE karesi + BE karesi + CE karesi + ED karesi
- Her iki toplama işleminde de eşitliğin sağ tarafında yer alan parçalar tamamen aynıdır.
- Yazılımın 10. ve 11. adımlarında sisteme girilen karşılıklı kenarların kareleri toplamı değerlerinin, köşeler ne kadar hareket ettirilirse ettirilsin her zaman birbirine eşit kalmasının nedeni bu Pisagor dengesidir. Böylece önerme yazılım ortamında doğrulanmış olur.
7. Soru: Benzer Bir Önermenin İspatı
Soru Metni:
Ende ettiğiniz önermelerden birini 6. maddedeki ispat adımlarına benzer bir yöntem izleyerek ispatlayınız. Uyguladığınız ispatı kullanışlılık açısından değerlendiriniz.
Ende ettiğiniz önermelerden birini 6. maddedeki ispat adımlarına benzer bir yöntem izleyerek ispatlayınız. Uyguladığınız ispatı kullanışlılık açısından değerlendiriniz.
Cevap:
- Önerme: Bir paralelkenarda, köşegen uzunluklarının kareleri toplamı, dört kenar uzunluğunun kareleri toplamına daima eşittir.
- İspat Yöntemi: Şekil bir paralelkenar olarak modellenir. Köşegenler çizilir ve birbirini ortaladığı E noktasından kenarlara doğrular çekilir. Kenarlar arasında oluşan iki ayrı üçgende Kenarortay Teoremi uygulanır. Elde edilen bu iki denklem taraf tarafa toplandığında, köşegenlerin kareleri ile kenarların kareleri arasındaki eşitlik matematiksel olarak kanıtlanır.
- Kullanışlılık Değerlendirmesi: Bu ispat yöntemi, karmaşık trigonometrik teoremler veya uzun kosinüs formülleri kullanmak yerine doğrudan temel üçgen kenar-ortay bağıntılarına dayandığı için son derece kullanışlıdır. Geometride uzunluk hesaplamalarında büyük pratiklik sağlar.
8. Soru: Gerçek Yaşam Durumu Problemi (Sondaj Gemisi)
Soru Metni Girişi:
Türkiye için hem stratejik ve ekonomik hem de enerji güvenliği açısından son derece önemli araçlardan olan sondaj gemileri, son yıllarda ülkemizin yatırım yaparak envanterine kattığı ve enerji bağımsızlığı yolunda kritik öneme sahip olan unsurlardan biridir. Görsel 1’de Türkiye’nin ilk sondaj gemisi olan Fatih, Görsel 2’de geminin iki boyutlu olarak modellenmiş görüntüsü verilmiştir.
Türkiye için hem stratejik ve ekonomik hem de enerji güvenliği açısından son derece önemli araçlardan olan sondaj gemileri, son yıllarda ülkemizin yatırım yaparak envanterine kattığı ve enerji bağımsızlığı yolunda kritik öneme sahip olan unsurlardan biridir. Görsel 1’de Türkiye’nin ilk sondaj gemisi olan Fatih, Görsel 2’de geminin iki boyutlu olarak modellenmiş görüntüsü verilmiştir.
Tüm sayfaların detaylı cevapları için 11. Sınıf Matematik MEB Yayınları Ders Kitabı Cevapları sayfamızı ziyaret edebilirsiniz.