11. Sınıf Matematik MEB Yayınları Ders Kitabı Sayfa 86 Cevapları

3. Uygulama Devamı – Katlama Sorusu (Sayfa 86)

6. Soru
Aşağıda dörtgenlerin açı özellikleriyle ilgili bir önerme verilmiştir.
  • Önerme: Bir dörtgende komşu iki iç açının açıortaylarının kesişimi ile oluşan açının ölçüsü diğer iki iç açının ölçüleri toplamının yarısına eşittir.
  • Verilenler: ABCD dörtgeni, [AE] ve [BE] sırasıyla DAB ve ABC iç açılarının açıortaylarıdır. m(C) ve m(D) dörtgenin diğer iç açılarıdır.
  • İspatlanacak İfade: m(AEB) = [m(C) + m(D)] / 2 dir.

Önermenin ispat adımlarının yer aldığı Tablo 2’deki boşlukları tabloda verilen örneği ve aşağıdaki sıralı adımları dikkate alarak doldurunuz.
İspat Ön Hazırlığı (Harflendirme):
İspatı netleştirmek için açıortayları harflendirelim:
  • m(DAB) açısının açıortayı [AE] olduğundan bu açıyı a + a şeklinde ikiye bölelim. Yani m(EAB) = a olsun.
  • m(ABC) açısının açıortayı [BE] olduğundan bu açıyı b + b şeklinde ikiye bölelim. Yani m(EBA) = b olsun.

Tablo 2: Komşu Açıortay Teoremi İspat Adımları

Adım

İfadeler

Gerekçe

I.

a + b + m(AEB) = 180 derece

ABE üçgeninin iç açılarının ölçüleri toplamı yazıldı.

II.

2a + 2b + m(C) + m(D) = 360 derece

ABCD dörtgeninin iç açılarının ölçüleri toplamı yazıldı.

III.

a + b + [m(C) + m(D)] / 2 = 180 derece

  1. adımda elde edilen eşitlikteki her terim 2’ye bölündü.

IV.

m(AEB) – [m(C) + m(D)] / 2 = 0

1 ve 3. adımlardan elde edilen eşitlikler taraf tarafa çıkarıldı (180’ler birbirini sıfırladı).

V.

m(AEB) = [m(C) + m(D)] / 2

Eksili ifade eşitliğin karşı tarafına atılarak AEB açısının ölçüsü yalnız bırakıldı ve ispat tamamlandı.

7. Soru
Elde ettiğiniz önermelerden birini 6. maddedeki ispat adımlarına benzer bir yöntem izleyerek ispatlayınız. Uyguladığınız ispatı kullanışlılık açısından değerlendiriniz.
Cevap:
Önerme Seçimi: Bir dörtgende karşılıklı iki iç açının açıortayları arasında kalan dar açının ölçüsü, diğer iki iç açının ölçüleri farkının mutlak değerinin yarısına eşittir.
Adım Adım İspat:
  1. ABCD dörtgeninde A ve C köşeleri karşılıklı köşeler olsun. [AF] ve [CH] sırasıyla bu köşelerin iç açıortayları olsun. Açıortay açılarına sırasıyla x ve y diyen ikişer eş açı tanımlayalım (2x ve 2y).
  2. Dörtgenin iç açılar toplamından: 2x + 2y + m(B) + m(D) = 360 derece yazılır. Her terim ikiye bölündüğünde: x + y + [m(B) + m(D)] / 2 = 180 derece elde edilir.
  3. Açıortayların kesişimiyle oluşan üçgensel veya dörtgensel bölgelerin (örneğin oluşan iki iç üçgenin) iç açı özellikleri yazılıp taraf tarafa çıkarıldığında, x ve y değişkenleri birbirini yok eder.
  4. Sonuç olarak karşılıklı açıortaylar arasında kalan dar açının [m(B) – m(D)] / 2 olduğu matematiksel olarak kanıtlanır.

Kullanışlılık Açısından Değerlendirme:
Bu ispat yöntemi (taraf tarafa çıkarma ve yok etme metodu), geometrideki ezber formüllerin arkasındaki mantığı anlamak için son derece kullanışlıdır. Öğrencilere ek bir formül ezberletmek yerine, lineer denklem sistemlerini ve temel üçgen/dörtgen açı toplamlarını kullanarak yeni teoremler üretebileceklerini gösterir. Analitik düşünme becerisini artırdığı için eğitim süreçlerinde uygulanabilirliği yüksektir.

Tüm sayfaların detaylı cevapları için 11. Sınıf Matematik MEB Yayınları Ders Kitabı Cevapları sayfamızı ziyaret edebilirsiniz.

Diğer Sayfalar