11. Sınıf Matematik MEB Yayınları Ders Kitabı Sayfa 85 Cevapları

3. Uygulama Devamı – Açıortay Soru Çözümü (Sayfa 85)

1. Soru
ABCD dörtgeninde BAD, ADC ve BEC açıları arasındaki ilişkiye dair varsayımlarınızı yazınız.
Cevap:
Bir ABCD dörtgeninde, komşu iki iç açının (örneğin A ve B köşelerinin) iç açıortaylarının kesişmesiyle oluşan bir E noktası düşünüldüğünde; bu açıortaylar arasında kalan m(BEC) açısının ölçüsü, dörtgenin geriye kalan diğer iki iç açısının yani m(BAD) ve m(ADC) açılarının toplamının yarısına eşittir.
2. Soru
Elde ettiğiniz varsayımlardan genellemelere ulaşmak için matematik yazılımındaki 5. adımdan yararlanarak aşağıdaki tabloyu örnekteki gibi doldurunuz.
Cevap:

Deney No

m(BAD) Değeri

m(ADC) Değeri

Açıların Toplamı [m(BAD) + m(ADC)]

Ölçülen m(BEC) Açısı

Örnek

100°

120°

220°

110°

1

80°

100°

180°

90°

2

70°

110°

180°

90°

3

110°

130°

240°

120°

3. Soru
Tablodan elde ettiğiniz sonuçlardan yararlanarak ABCD dörtgeninde BAD, ADC ve BEC açıları arasındaki ilişkiye dair örüntüleri genelleyiniz. Bu süreçte arkadaşlarınızın görüşlerini dinleyiniz, onların yapacağı genellemeler hakkındaki fikirlerinizi arkadaşlarınızla paylaşınız.
Cevap:
Tablodaki veriler net bir örüntü ortaya koymaktadır: Açıortayların kesişim noktası olan E köşesindeki açı (m(BEC)), her zaman diğer iki köşe açısının toplamının tam olarak yarısı (aritmetik ortalaması) olmaktadır. Sınıf arkadaşlarımızın da üçgen iç açıları toplamı (180°) ve dörtgen iç açıları toplamı (360°) kurallarından yola çıkarak bu oran-orantı ilişkisini doğrulaması ve aynı ortak genellemeye ulaşması beklenir.
4. Soru
Yaptığınız varsayımlarla genellemelerinizi karşılaştırarak oluşabilecek herhangi bir ABCD dörtgeni için BAD, ADC ve BEC açılarına ilişkin önermelerinizi yazınız.
Cevap:
Yaptığımız deneysel gözlemler ve teorik genellemeler doğrultusunda şu kesin önermeyi yazabiliriz:
  • Önerme: Bir dörtgende komşu iki açının iç açıortaylarının kesişmesiyle oluşan açının ölçüsü, boşta kalan diğer iki iç açının ölçüleri toplamının yarısına daima eşittir. Matematiksel olarak modellemek gerekirse: m(BEC) = [m(BAD) + m(ADC)] / 2 önermesi her zaman doğrudur.

5. Soru (Geometri Problemi ve Çözümü)
Dörtgenlerde açıortay yardımıyla elde edilen açı özelliklerine ilişkin yazdığınız önermeleri yeni durumlara uyarlayarak değerlendirmek için aşağıdaki soruyu cevaplayınız.
Yandaki ABCD dörtgeninde A, E ve F noktaları doğrusaldır. [AF ve [BE] iç açıortay, m(BCD) = 110° ve m(BEF) = 80° olarak veriliyor.
Buna göre m(ADC) nün kaç derece olduğunu bulunuz.
Adım Adım Çözüm:
  1. Doğrusal Açı İlişkisinin Kurulması:
    A, E ve F noktaları doğrusal bir hat üzerinde olduğundan, bu hat üzerindeki toplam açı 180 derecedir. Dolayısıyla m(AEB) açısı ile m(BEF) açısı birbirini 180 dereceye tamamlayan bütünler açılardır:
    • m(AEB) + m(BEF) = 180°
    • m(AEB) + 80° = 180°
    • m(AEB) = 100° olarak bulunur.

  2. Dörtgende Açıortay Teoreminin Uygulanması:
    [AF] ve [BE] çizgileri komşu A ve B köşelerinin iç açıortaylarıdır. Bu iki açıortayın kesişimiyle oluşan m(AEB) açısı, teoreme göre dörtgenin diğer iki köşesindeki (C ve D köşeleri) açıların toplamının yarısına eşittir:
    • m(AEB) = [m(BCD) + m(ADC)] / 2

  3. Verilen Değerlerin Yerine Konması ve Hesaplama:
    Bulduğumuz m(AEB) = 100° ve soruda verilen m(BCD) = 110° değerlerini formülde yerine yazalım:
    • 100° = [110° + m(ADC)] / 2
    • 100 * 2 = 110° + m(ADC)
    • 200° = 110° + m(ADC)
    • m(ADC) = 200° – 110°
    • m(ADC) = 90° bulunur.

Cevap: m(ADC) açısının ölçüsü 90° olarak hesaplanır.

Tüm sayfaların detaylı cevapları için 11. Sınıf Matematik MEB Yayınları Ders Kitabı Cevapları sayfamızı ziyaret edebilirsiniz.

Diğer Sayfalar