11. Sınıf Matematik MEB Yayınları Ders Kitabı Sayfa 88 Cevapları

4. Uygulama Devamı – Sıra Sizde Açıortay Soru Çözümü (Sayfa 88)

1. Soru
ABCD dörtgeninin BAD, BCD ve DEF açıları arasındaki ilişkiye dair varsayımlarınızı yazınız.
Cevap:
Bir ABCD dörtgeninde, karşılıklı iki iç açının (örneğin B ve D köşelerinin) iç açıortaylarının kesişmesiyle oluşan açılardan dar olanının ölçüsü (m(DEF)), dörtgenin geriye kalan diğer iki karşılıklı iç açısının (m(BAD) ve m(BCD)) ölçüleri farkının mutlak değerinin yarısına eşittir. Oluşan geniş açı ise bu değerin 180 dereceye tamamlayıcısıdır.
2. Soru
Elde ettiğiniz varsayımlardan genellemeler oluşturmak için matematik yazılımındaki 5. adımdan yararlanarak aşağıdaki tabloyu örnekteki gibi doldurunuz.
Cevap:
  • Örnek Deney: m(BAD) = 120°, m(BCD) = 80° | Farkın Yarısı = 20° | m(DEF) = 160°
  • Deney 1: m(BAD) = 130°, m(BCD) = 70° | Farkın Yarısı = 30° | m(DEF) = 150°

  • Deney 2: m(BAD) = 100°, m(BCD) = 60° | Farkın Yarısı = 20° | m(DEF) = 160°
  • Deney 3: m(BAD) = 140°, m(BCD) = 120° | Farkın Yarısı = 10° | m(DEF) = 170°

3. Soru
Tablodan elde ettiğiniz sonuçlardan yararlanarak ABCD dörtgeninde BAD, BCD ve DEF açıları arasındaki ilişkiye dair örüntüleri genelleyiniz. Bu süreçte sınıf arkadaşlarınızın görüşlerini dinleyerek onların yapacağı genellemeler hakkındaki fikirlerinizi paylaşınız.
Cevap:
Tablo simüle edildiğinde net bir örüntü görmekteyiz: Karşılıklı açıortayların oluşturduğu geniş kesişim açısı 180 dereceye yaklaştıkça, dörtgenin diğer karşılıklı iki açısı arasındaki fark küçülmektedir. Sınıf arkadaşlarımızın da geometrideki üçgen dış açı bağıntılarını kullanarak, karşılıklı iki açıortay arasında kalan dar açının daima diğer iki açının farkının mutlak değerinin yarısı olacağı yönündeki genel matematiksel kuralı doğrulaması beklenir.
4. Soru
Yaptığınız varsayımlarla genellemelerinizi karşılaştırarak oluşabilecek herhangi bir ABCD dörtgeni için BAD, BCD ve DEF açılarına ilişkin önermelerinizi yazınız.
Cevap:
Gözlemlerimiz sonucunda her konveks dörtgen için geçerli olan şu kesin önermeyi yazabiliriz:
  • Önerme: Bir dörtgende karşılıklı iki açının iç açıortay çizgisinin kesişmesiyle oluşan geniş açı genişletildikçe, boştaki diğer iki karşılıklı açının ölçüleri birbirine yaklaşır. Karşılıklı açıortayların oluşturduğu dar açı daima boştaki açıların farkının yarısıdır. Formül: Dar Açı = |m(BAD) – m(BCD)| / 2

5. Soru (Geometri Problemi ve Çözümü)
Dörtgenlerde açıortay yardımıyla elde edilen açı özelliklerine ilişkin yazdığınız önermeleri yeni durumlara uyarlayarak değerlendirmek için aşağıdaki soruyu cevaplayınız.
Yandaki şekilde ABCD bir dörtgen; D, E, K noktaları doğrusal, [DK ve [BE sırasıyla ADC ve ABC iç açılarının açıortayı, [DK ve [BE çizgilerinin kesişimi E noktasıdır. m(BCD) = x + 16, m(BAD) = 3x – 20 ve m(BED) = 170 derece olarak veriliyor.
Buna göre x in alabileceği tam sayı değerleri toplamını bulunuz.
Adım Adım Çözüm:
  1. Açıortaylar Arasındaki Dar Açının Bulunması:
    Soruda karşılıklı iki köşenin (B ve D köşeleri) açıortaylarının kesişimiyle oluşan m(BED) geniş açısı 170 derece olarak verilmiştir. Geometrik kural gereği, bu iki doğrunun kesişimindeki dar açı, bütünler açı ilişkisinden bulunur:
    • Dar Açı = 180° – 170° = 10°

  2. Karşılıklı Açıortay Teoreminin Uygulanması:
    Teoreme göre, karşılıklı iki açıortay arasında kalan dar açı (10°), boştaki diğer iki karşılıklı açının (m(BAD) ve m(BCD)) farkının mutlak değerinin yarısına eşittir:
    • 10° = |m(BAD) – m(BCD)| / 2
    • 10° * 2 = |(3x – 20) – (x + 16)|
    • 20° = |3x – 20 – x – 16|
    • 20 = |2x – 36|

  3. Mutlak Değer Denkleminden İki Farklı Durumun İncelenmesi:
    • 1. Durum (Pozitif Çıkma Hali):
      2x – 36 = 20
      2x = 56
      x = 28
      (Kontrol: x = 28 için açılar pozitif ve mantıklıdır. m(BCD)=44°, m(BAD)=64°)
    • 2. Durum (Negatif Çıkma Hali):
      2x – 36 = -20
      2x = 16
      x = 8
      (Kontrol: x = 8 için açılar pozitif ve mantıklıdır. m(BCD)=24°, m(BAD)=4°)

  4. x Değerlerinin Toplamı:
    Soruda x’in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı istenmiştir:
    • Toplam = 28 + 8 = 36

Cevap: x’in alabileceği tam sayı değerleri toplamı 36 olarak bulunur.

Tüm sayfaların detaylı cevapları için 11. Sınıf Matematik MEB Yayınları Ders Kitabı Cevapları sayfamızı ziyaret edebilirsiniz.

Diğer Sayfalar