11. Sınıf Matematik MEB Yayınları Ders Kitabı Sayfa 89 Cevapları

4. Uygulama Devamı – Caddeler ve Evler Sorusu (Sayfa 89)

6. Soru
Aşağıda dörtgenlerin açı özellikleriyle ilgili bir önerme verilmiştir.
  • Önerme: Bir dörtgende karşı iki iç açının açıortaylarının oluşturduğu dar açının ölçüsü diğer iki iç açının ölçüleri farkının mutlak değerinin yarısına eşittir.
  • Verilenler: ABCD dörtgeni, m(A) ve m(C) boştaki açılar; [BF] ve [DG] karşılıklı iç açıortaylardır.
  • İspatlanacak İfade: m(BEG) = |m(A) – m(C)| / 2 dir.

İspat Ön Hazırlığı (Harflendirme):
İspatın adımlarda kolayca takip edilebilmesi için açıortayları harflendirelim:
  • B açısının açıortayı [BF] olduğundan bu açıyı b + b olarak ikiye bölelim. Yani m(CBF) = b olsun.
  • D açısının açıortayı [DG] olduğundan bu açıyı d + d olarak ikiye bölelim. Yani m(CDG) = d olsun.

Tablo 2: Karşılıklı Açıortay Teoremi İspat Adımları

  • İşlem Sırası I.
    • İfade: m(DGC) = b + m(BEG)
    • Gerekçe: BEG üçgeninde iki iç açının ölçüleri toplamının, kendilerine komşu olmayan bir dış açının ölçüsüne eşit olması kuralı (m(DGC) dış açısı için) kullanıldı.

  • İşlem Sırası II.
    • İfade: d + m(C) + m(DGC) = 180 derece
    • Gerekçe: DGC üçgeninin iç açılarının ölçülerinin toplamı yazıldı.

  • İşlem Sırası III.
    • İfade: d + m(C) + b + m(BEG) = 180 derece
    • Gerekçe: Tablonun 1. adımında elde edilen DGC açısının ölçüsü, tablonun 2. adımında yerine yazıldı.

  • İşlem Sırası IV.
    • İfade: a + b + c + d = 180 derece (Burada a, b, c, d harfleri A, B, C, D açılarının yarılarıdır: m(A)/2 + m(B)/2 + m(C)/2 + m(D)/2 = 180)
    • Gerekçe: ABCD dörtgeninin iç açılarının ölçüleri toplamı (360 derece) yazılarak her bir terim 2’ye bölündü.

  • İşlem Sırası V.
    • İfade: m(BEG) = [m(A) – m(C)] / 2
    • Gerekçe: Tablonun 3 ve 4. adımlarından elde edilen eşitlikler (her ikisi de 180 dereceye eşit olduğundan) birbirine eşitlenerek b ve d harfleri yok edildi, böylece BEG açısının ölçüsü yalnız bırakıldı.

7. Soru
Elde ettiğiniz önermelerden birini 6. maddedeki ispat adımlarına benzer bir yöntem izleyerek ispatlayınız. Uyguladığınız ispatı kullanışlılık açısından değerlendiriniz.
Cevap:
Önerme Seçimi: Bir üçgende iki iç açıortayın kesişmesiyle oluşan açının ölçüsü, 90 derece ile üçüncü açının yarısının toplamına eşittir.
Adım Adım İspat:
    1. Bir ABC üçgeninde B ve C köşelerine ait iç açıortaylar çizilsin ve bu doğrular bir I noktasında kesişsin. Açıortay açılarına sırasıyla x ve y diyelim.
  1. Oluşan BIC üçgeninin iç açılar toplamını yazalım: x + y + m(BIC) = 180 derece olur. Buradan x + y = 180 – m(BIC) elde edilir.
  2. Büyük ABC üçgeninin iç açılar toplamını yazalım: 2x + 2y + m(A) = 180 derece olur.
  3. Bu eşitlikteki her terimi 2’ye bölelim: x + y + m(A)/2 = 90 derece elde edilir.
  4. İkinci adımda bulduğumuz (x + y) değerini bu yeni eşitlikte yerine yazalım: 180 – m(BIC) + m(A)/2 = 90 olur.
  5. Eşitliği düzenlediğimizde: m(BIC) = 90 + m(A)/2 olarak önerme ispatlanmış olur.

Kullanışlılık Açısından Değerlendirme:
Bu ispat yöntemi, geometrik şekilleri parçalara ayırarak (üçgen içinde üçgen veya dörtgen içinde üçgen) alt denklemler kurma mantığına dayanır. Ekstra çizim karmaşası yaratmadığı ve sadece temel iç açı toplamı kurallarını kullandığı için son derece sade ve kullanışlıdır. Öğrencilerin harflendirme ve yerine koyma metodunu kavramasını kolaylaştırır.

Tüm sayfaların detaylı cevapları için 11. Sınıf Matematik MEB Yayınları Ders Kitabı Cevapları sayfamızı ziyaret edebilirsiniz.

Diğer Sayfalar