11. Sınıf Matematik MEB Yayınları Ders Kitabı Sayfa 81 Cevapları
2. Uygulama Devamı – Katlama Sorusu (Sayfa 81)
Sıra Sizde 1
Aşağıdaki ifadelerde içbükey ve dışbükey dörtgenlere ait özellikler verilmiştir. Sol taraftaki boşluklara bu özelliklerden doğru olanlara “D”, yanlış olanlara “Y” yazınız.
- ( Y ) Dışbükey dörtgenlerin bütün iç açılarının ölçüleri eşittir.
- ( Y ) İçbükey dörtgenlerin iki iç açısının ölçüsü 180°den büyük olabilir.
- ( D ) Hem içbükey hem de dışbükey dörtgenlerin iç açlarının ölçüleri toplamı eşittir.
- ( D ) Dışbükey dörtgenlerde çizilen köşegenler dörtgenin iç bölgesinde kalır.
Detaylı Çözüm Açıklamaları:
- Birinci İfade (Y): Dışbükey bir dörtgenin iç açıları birbirinden farklı olabilir (örneğin çeşitkenar bir yamuk veya paralelkenar). Bütün iç açılarının eşit olması sadece kare ve dikdörtgen gibi özel dörtgenlere özgüdür.
- İkinci İfade (Y): Bir dörtgenin sadece bir tane iç açısı 180°den büyük olabilir. Eğer iki açısı birden 180°den büyük olsaydı, iç açılar toplamı 360°yi aşacağı için bu bir dörtgen oluşturamazdı.
- Üçüncü İfade (D): Kenar sayısı 4 olan tüm çokgenlerin (ister dışbükey ister içbükey olsun) iç açılarının ölçüleri toplamı her zaman 360°dir.
- Dördüncü İfade (D): Tanım gereği, dışbükey (konveks) dörtgenlerin köşegenlerinin tamamı çokgenin iç bölgesinde yer alır. İçbükey (konkav) dörtgenlerde ise en az bir köşegen dış bölgeye taşar.
2. Uygulama
Dörtgenlerde Açı Özellikleri
Aşağıda istenenleri gerçekleştirerek soruları yanıtlayınız.
Aşağıda istenenleri gerçekleştirerek soruları yanıtlayınız.
1. Dörtgen, yamuk, ikizkenar yamuk, dik yamuk, paralelkenar, eşkenar dörtgen, dikdörtgen ve karenin iç açıları arasındaki ilişkiye, iç açılarının ölçüleri toplamına, dış açılarının ölçüleri toplamına dair varsayımlarınızı yazınız.
Cevap:
- İç Açılarının Ölçüleri Toplamı: Bahsedilen tüm bu geometrik şekiller birer dörtgendir. Dolayısıyla, içbükey veya dışbükey ayrımı olmaksızın hepsinin iç açılarının ölçüleri toplamı **360°**dir.
- Dış Açılarının Ölçüleri Toplamı: Bütün dışbükey çokgenlerde olduğu gibi, tüm bu dörtgen türlerinin de dış açılarının ölçüleri toplamı her zaman **360°**dir.
- İç Açılar Arasındaki İlişkiler (Şekillere Göre):
- Kare ve Dikdörtgen: Tüm iç açıları birbirine eşit ve 90°dir.
- Paralelkenar ve Eşkenar Dörtgen: Karşılıklı açılarının ölçüleri birbirine eşittir. Ardışık (komşu) iki açısının toplamı ise 180°dir (bütünlerdir).
- Yamuk (Genel, İkizkenar, Dik Yamuk): Alt ve üst tabanlara ait olan ve aynı yan kenara komşu olan iç açıların toplamı birbirine paralel doğrulardan dolayı 180°dir. İkizkenar yamukta aynı tabana oturan açılar birbirine eşittir. Dik yamukta ise iki adet 90°lik dik açı bulunur.
2. Elde ettiğiniz varsayımlardan genellemeler oluşturmak için aşağıda verilen matematik yazılımı ile ilgili adımları uygulayınız.
1. adım: Araçlar bölümünden Doğru aracını seçiniz. Yatay olacak şekilde soldan sağa doğru sırasıyla A ve B noktalarını seçiniz.
1. adım: Araçlar bölümünden Doğru aracını seçiniz. Yatay olacak şekilde soldan sağa doğru sırasıyla A ve B noktalarını seçiniz.
Cevap:
Bu adım, dinamik geometri yazılımlarında (GeoGebra vb.) dörtgenlerin tabanını veya paralellik ilişkilerini oluşturmak için kullanılan ilk aşamadır. Doğru aracı yardımıyla düzlemde sabit bir doğrultu elde edilir ve sonraki adımlarda bu doğruya paralel veya dik doğrular çizilerek yukarıda varsayımı yapılan yamuk, paralelkenar veya kare gibi özel dörtgenlerin çizimi aslına uygun şekilde simüle edilir. Yazılım üzerinde yapılan ölçümlerle, tüm dörtgenlerde iç ve dış açı toplamlarının 360° olduğu uygulamalı olarak doğrulanır.
Bu adım, dinamik geometri yazılımlarında (GeoGebra vb.) dörtgenlerin tabanını veya paralellik ilişkilerini oluşturmak için kullanılan ilk aşamadır. Doğru aracı yardımıyla düzlemde sabit bir doğrultu elde edilir ve sonraki adımlarda bu doğruya paralel veya dik doğrular çizilerek yukarıda varsayımı yapılan yamuk, paralelkenar veya kare gibi özel dörtgenlerin çizimi aslına uygun şekilde simüle edilir. Yazılım üzerinde yapılan ölçümlerle, tüm dörtgenlerde iç ve dış açı toplamlarının 360° olduğu uygulamalı olarak doğrulanır.
Tablo 1: Dörtgenlerin Açı Özellikleri
(Eğer WordPress’te Gutenberg (Blok) editör kullanıyorsanız bu tabloyu direkt kopyalayıp “Klasik” veya “HTML olarak düzenle” diyerek yapıştırabilirsiniz)
Dörtgen Türü | İç açı ölçüleri toplamı 360°dir. | Dış açı ölçüleri toplamı 360°dir. | Tüm iç açılarının ölçüleri eşittir. | Karşılıklı iç açılarının ölçüleri eşittir. | Komşu iç açıları bütünlerdir. |
|---|---|---|---|---|---|
Dörtgen | ✓ | ✓ | |||
Yamuk | ✓ | ✓ | |||
İkizkenar yamuk | ✓ | ✓ | |||
Dik yamuk | ✓ | ✓ | |||
Paralelkenar | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | |
Eşkenar dörtgen | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | |
Dikdörtgen | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
Kare | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
3. Soru
Tablodan elde ettiğiniz sonuçlardan yararlanarak dörtgenlerin açı özelliklerine ilişkin örüntüleri genelleyiniz. Bu süreçte sınıf arkadaşlarınızın görüşlerini dinleyerek onların yapacağı genellemeler hakkındaki fikirlerinizi paylaşınız.
Cevap:
Tablo incelendiğinde en temel genelleme, tüm dörtgenlerin iç ve dış açılarının ölçüleri toplamının istisnasız 360° olduğudur. Şekil özel bir hal aldıkça (paralelkenar, dikdörtgen, kare vb.) açılar arasındaki ilişkiler de düzenli bir örüntüye sahip olur. Örneğin, karşılıklı kenarları paralel olan şekillerde karşılıklı açılar eşitlenirken, ardışık komşu açılar birbirini 180°ye tamamlar (bütünler). Sınıf arkadaşlarımızın da geometrik şekillerdeki simetri ve paralellik arttıkça, açı özelliklerinin de daha düzenli ve birbirine eşit hale geldiği yönünde benzer genellemeler yapması beklenir.
Tablo incelendiğinde en temel genelleme, tüm dörtgenlerin iç ve dış açılarının ölçüleri toplamının istisnasız 360° olduğudur. Şekil özel bir hal aldıkça (paralelkenar, dikdörtgen, kare vb.) açılar arasındaki ilişkiler de düzenli bir örüntüye sahip olur. Örneğin, karşılıklı kenarları paralel olan şekillerde karşılıklı açılar eşitlenirken, ardışık komşu açılar birbirini 180°ye tamamlar (bütünler). Sınıf arkadaşlarımızın da geometrik şekillerdeki simetri ve paralellik arttıkça, açı özelliklerinin de daha düzenli ve birbirine eşit hale geldiği yönünde benzer genellemeler yapması beklenir.
4. Soru
Yaptığınız varsayımlarla genellemelerinizi karşılaştırarak dörtgenlerin açı özelliklerine ilişkin önermelerinizi yazınız.
Cevap:
Uygulama başında yaptığımız varsayımlar ile tablodan elde ettiğimiz genellemeler birbiriyle tamamen uyuşmaktadır. Bu doğrultuda şu kesin önermeleri yazabiliriz:
Uygulama başında yaptığımız varsayımlar ile tablodan elde ettiğimiz genellemeler birbiriyle tamamen uyuşmaktadır. Bu doğrultuda şu kesin önermeleri yazabiliriz:
- Önerme 1: Herhangi bir dışbükey veya içbükey dörtgenin iç açılarının toplamı daima 360°dir.
- Önerme 2: Karşılıklı kenarları paralel olan dörtgenlerde (paralelkenar, eşkenar dörtgen, dikdörtgen, kare) karşılıklı iç açılar birbirine eşittir.
- Önerme 3: Dikdörtgen ve kare, tüm iç açıları 90° olan ve hem komşu açılarının bütünler olması hem de tüm açılarının eşit olması özelliklerini aynı anda sağlayan özel dörtgenlerdir.
5. Soru (Geometri Problemi ve Çözümü)
Dörtgenlerin açı özelliklerine ilişkin sunduğunuz önermeleri yeni durumlara uyarlayarak değerlendirmek için aşağıdaki soruyu cevaplayınız.
Şekil 1’deki ön yüzü yeşil, arka yüzü mavi renkli ABCD paralelkenar biçimindeki karton [BE] boyunca katlandığında C noktası Şekil 2’deki gibi [AD] üzerindeki C’ noktası ile çakışmaktadır. m(DEC’) = 40° ve m(ABC’) = 30° olarak veriliyor.
Buna göre m(ADC) nün kaç derece olduğunu bulunuz.
Adım Adım Çözüm:
- Katlama Özelliğinin Uygulanması:
Karton [BE] doğrusu boyunca katlandığında C noktası C’ noktasına gelmektedir. Katlama çizgisi açıortay eksenidir. Bu durumda, katlama öncesindeki C açısı ile katlama sonrasındaki C’ açısı birbirine eşittir:
m(BCE) = m(BC’E)
Aynı zamanda m(CBE) = m(C’BE) olur. - Doğrusal Açı ve Katlanan Açı İlişkisi:
Şekil 2’de [AD] kenarı doğrusal olduğundan; D, C’ ve A noktaları doğrusal bir hat üzerindedir. [AD] ile [BC] kenarları birbirine paralel olduğundan, iç ters açılar ve katlama simetrisi kuralları geçerlidir. m(DEC’) = 40° olarak verilmiştir. Buradan hareketle C’ noktasındaki katlanan iç açı m(BC’E) = 110° olarak hesaplanır. - Karşılıklı Açılar ve Eşitlik:
Katlama sonucunda C köşesindeki açı ile C’ köşesindeki açı aynı kalır. Buradaki C köşesinin açısı 110° değerindedir. Paralelkenarın temel özelliklerine göre, karşılıklı açılar birbirine eşittir. Bu yüzden A köşesindeki açı ile C köşesindeki açı birbirine eşit olmalıdır:
m(DAB) = m(C) = 110°
- Katlama Özelliğinin Uygulanması:
- İstenen Açının ( m(ADC) ) Bulunması:
Paralelkenarda ardışık komşu açılar bütünlerdir yani toplamları 180°dir. A açısı ile D açısının toplamı 180° olmalıdır:
m(ADC) + m(DAB) = 180°
m(ADC) + 110° = 180°
m(ADC) = 180° – 110° = 70°
Cevap: m(ADC) = 70° olarak bulunur.
Soru 5: Şekil 1’deki ABCD paralelkenar biçimindeki karton [BE] boyunca katlandığında C noktası C’ noktası üzerine geliyor. m(DEC’) = 40° ve m(ABC’) = 30°. m(ADC) kaç derecedir?
İşlem ve Hesaplama:
1. [BE] katlama çizgisi açıortaydır => m(C’BE) = m(CBE) = x.
2. Katlamadan m(BC’E) = m(BCE) = m(ADC) (paralelkenarda karşılıklı açılar eşittir).
3. m(DEC’) = 40° ise katlama açısı m(BEC’) = m(BEC) = (180° – 40°) / 2 = 70°.
4. C’BE dik/üçgen ilişkisinden m(BC’E) = 180° – (70° + x).
5. Paralelkenarda m(B) = m(ABC’) + 2x = 30° + 2x.
6. Bütünler açı bağıntısından m(ADC) + m(B) = 180° => m(ADC) = 180° – (30° + 2x) = 150° – 2x.
7. Denklem çözüldüğünde x = 20° ve m(ADC) = 110° olarak bulunur.
Cevap: 110°
Tüm sayfaların detaylı cevapları için 11. Sınıf Matematik MEB Yayınları Ders Kitabı Cevapları sayfamızı ziyaret edebilirsiniz.