11. Sınıf Matematik MEB Yayınları Ders Kitabı Sayfa 87 Cevapları

4. Uygulama: Karşı Açıortaylar Arasındaki Açı – Tablo 1 (Sayfa 87)

8. Soru
Elde ettiğiniz çıkarımları matematiksel modele dönüştürerek aşağıdaki gerçek yaşam durumu probleminde uygulayınız.
Yandaki şekilde birim kareli kağıt üzerine çizilmiş ABC üçgeni ve BC üzerinde işaretli D ve E noktaları veriliyor. Gökçe, kağıdı BA boyunca katlayarak BC üzerindeki E noktasının kağıtta karşılık geldiği noktayı K olarak işaretliyor ve kağıdı eski konumuna açarak düz hale getiriyor. Daha sonra kağıdı CA boyunca katlayarak BC kenarı üzerindeki D noktasının kağıtta karşılık geldiği noktayı M olarak işaretliyor ve kağıdı tekrar açarak düz hale getiriyor. Gökçe B, K, M ve C noktalarını birleştirerek bir dörtgen elde ediyor.
m(BKM) = 80 derece ve m(KMC) = 110 derece olduğuna göre m(BAC) nün kaç derece olduğunu bulunuz.
Adım Adım Çözüm:
  1. Katlama Dinamiklerinin Analizi (Açıortay İlişkisi):
      • Kağıt [BA] doğrusu boyunca katlandığında E noktası K noktasına gelmektedir. Katlama çizgisi her zaman bir simetri eksenidir. Bu durum, [BA] çizgisinin KAE açısının iç açıortayı olduğunu gösterir. Yani m(BAK) = m(BAE) olur.
      • Benzer şekilde, kağıt [CA] doğrusu boyunca katlandığında D noktası M noktasına gelmektedir. Bu durum da [CA] çizgisinin DAM açısının iç açıortayı olduğunu gösterir. Yani m(CAM) = m(CAD) olur.

    • Oluşan BKMC Dörtgeninin İncelenmesi:
      Gökçe B, K, M ve C noktalarını birleştirerek bir BKMC dörtgeni elde etmiştir. Soruda bu dörtgenin iç açılarına ait şu değerler verilmiştir:
      • m(BKM) = 80 derece
      • m(KMC) = 110 derece

    • Komşu Açıortay Teoreminin Uygulanması:
      Yukarıdaki katlama hareketlerinden elde ettiğimiz üzere; A noktası, BKMC dörtgeninin B ve C köşelerinden (yani üçgenin taban köşelerinden) çizilen dış açıortayların (veya katlama sonucu oluşan komşu iç/dış açıortay yapısının) kesişim noktası modeline dönüştürülmüştür.      Dörtgenlerde açıortay özelliklerine dayanan matematiksel modelimize göre, ardışık iki köşenin açıortaylarının kesişimiyle oluşan tepe açısı (m(BAC)), diğer iki köşe açısının toplamı veya farkı ile doğrudan ilişkilidir.Sistem düzleme geri açıldığında, katlama çizgilerinin oluşturduğu bütünler ve tümler açı ilişkilerinden (veya doğrudan BKMC dörtgeninin iç açılar toplamı olan 360 derece kuralından) hareketle; aranan m(BAC) ana tepe açısı, verilen taban köşe açılarının ortalamasıyla doğrudan bağlantılı bir denge oluşturur:
      • m(BAC) = [m(BKM) + m(KMC)] / 2
      • m(BAC) = [80 + 110] / 2
      • m(BAC) = 190 / 2
      • m(BAC) = 95 derece

    Cevap: m(BAC) açısının ölçüsü 95 derece olarak bulunur.

    Karşı açıortayların (A ve C veya B ve D) kesişimiyle oluşan dar açı m(DEF) için ölçümleri yapıp Tablo 1’i doldurunuz.

    Tablo Değerleri Örneği:
    – m(BAD) = 137°, m(BCD) = 57° => m(DEF) = |137° – 57°| / 2 = 80° / 2 = 40°.
    – m(BAD) = 120°, m(BCD) = 60° => m(DEF) = |120° – 60°| / 2 = 60° / 2 = 30°.

    Kural / Genelleme: Bir dışbükey dörtgende karşılıklı iki açının açıortayları arasındaki dar açının ölçüsü, diğer iki açının ölçüleri farkının mutlak değerinin yarısına eşittir: m(DEF) = |m(A) – m(C)| / 2.

    Tüm sayfaların detaylı cevapları için 11. Sınıf Matematik MEB Yayınları Ders Kitabı Cevapları sayfamızı ziyaret edebilirsiniz.

    Diğer Sayfalar