11. Sınıf Matematik MEB Yayınları Ders Kitabı Sayfa 99 Cevapları

Tablo 1: Dörtgenlerin Köşegen Özellikleri
  • Dörtgen:
    • Köşegenler birbirini oranlı olarak böler (genel durumda zorunluluk yoktur).

  • Yamuk:
    • Köşegenler birbirini oranlı olarak böler.

  • İkizkenar yamuk:
    • Köşegen uzunlukları eşittir. Köşegenler birbirini oranlı olarak böler.

  • Dik yamuk:
    • Köşegenler birbirini oranlı olarak böler.

  • Paralelkenar:
    • Köşegenler birbirini oranlı olarak böler. Köşegenler birbirini ortalar.

  • Eşkenar dörtgen:
    • Köşegenler birbirini oranlı olarak böler. Köşegenler birbirini ortalar. Köşegenler dik kesişir. Köşegenler iç açıortaydır.

  • Dikdörtgen:
    • Köşegen uzunlukları eşittir. Köşegenler birbirini oranlı olarak böler. Köşegenler birbirini ortalar.

  • Kare (e Yönergesi Sonucu):
    • Köşegen uzunlukları eşittir. Köşegenler birbirini oranlı olarak böler. Köşegenler birbirini ortalar. Köşegenler dik kesişir. Köşegenler iç açıortaydır.

3. Soru
Tablodan elde ettiğiniz sonuçlardan yararlanarak dörtgenlerin köşegenleri arasındaki örüntüleri genelleyiniz. Bu süreçte arkadaşlarınızın görüşlerini dinleyerek onların yapacağı genellemeler hakkındaki fikirlerinizi paylaşınız.
Cevap:
Tablo incelendiğinde, dörtgenlerin kenar özelliklerindeki simetri ve düzen arttıkça köşegen özelliklerinin de zenginleştiği görülmektedir. Örneğin, karşılıklı kenarları paralel olan şekillerde köşegenlerin birbirini ortalamaya başladığı, kenar uzunlukları eşitlendiğinde ise köşegenlerin dik kesişip açıortay özelliği kazandığı fark edilmektedir. Sınıf arkadaşlarımızın da kare şeklinin tüm bu köşegen özelliklerinin tamamını sağlayan tek ve en özel dörtgen olduğu yönünde hiyerarşik bir genelleme yapması beklenir.
4. Soru
Yaptığınız varsayımlarla genellemelerinizi karşılaştırarak dörtgenlerin köşegenleri arasındaki ilişkilere ait önermelerinizi yazınız.
Cevap:
Uygulama başında yaptığımız tahminler ile yazılımdan aldığımız veriler birbiriyle tam olarak uyuşmaktadır. Bu doğrultuda şu kesin önermeleri sunabiliriz:
  • Önerme 1: Köşegenleri hem birbirine eşit olan hem de dik kesişen tek dörtgen karedir.
  • Önerme 2: Köşegenleri dik kesişen dörtgenlerin (eşkenar dörtgen ve kare) köşegenleri, aynı zamanda geçtikleri köşelerin iç açıortayları olmak zorundadır.
  • Önerme 3: Köşegenlerin birbirini ortalaması için dörtgenin en azından bir paralelkenar ailesi üyesi (paralelkenar, eşkenar dörtgen, dikdörtgen, kare) olması şarttır.

5. Soru: Kare ve Raptiyeli İp Probleminin Çözümü
Soru Metni:
Aşağıdaki görselde bir sınıf panosunda A, B, C ve D noktalarından sabitlenmiş raptiyelerin etrafından gergin bir ip geçirilerek ABCD karesi oluşturulmuştur. Daha sonra B ve D noktalarını birleştiren gergin bir ip çekiliyor ve m(BCE) = 15 derece olacak şekilde BD köşegeni üzerindeki E noktasından bir ip raptiye ile C noktasına sabitleniyor. CE = 60 cm olduğuna göre ABCD karesinin çevresi için kullanılan ipin uzunluğunun kaç cm olduğunu bulunuz.
Adım Adım Çözüm:
  1. Karenin Köşegen Özelliğinin Kullanılması:
    ABCD bir kare olduğundan, [BD] köşegeni B ve C köşelerindeki açıları tam ikiye böler (iç açıortaydır). Karenin köşe açıları 90 derecedir. Bu durumda [BD] köşegeninin C köşesiyle oluşturduğu açının tamamı (yani m(BCD) açısının köşegenle bölünen parçası olan m(DBC) açısı) 45 derecedir.
  2. EBC Üçgenindeki Açıların Belirlenmesi:
    • C köşesindeki küçük açı soruda verilmiştir: m(BCE) = 15 derece.
    • B köşesindeki köşegen açısı karenin özelliğinden dolayı: m(EBC) = 45 derece.
    • EBC üçgeninin iç açılar toplamından E köşesindeki açıyı bulalım:
      m(BEC) + 15 + 45 = 180
      m(BEC) + 60 = 180
      m(BEC) = 120 derece.

  3. Geniş Açı Bölgesindeki İkizkenarlık Analizi (Açı Taşıma):
    [BD] köşegeni üzerinde E noktasından C’ye çekilen ipin oluşturduğu komşu m(DEC) açısını doğrusal açıdan bulalım:
    • m(DEC) = 180 – 120 = 60 derece.
    • [BD] köşegeninin D köşesindeki açısı da kare kuralı gereği 45 derecedir (m(EDC) = 45 derece).
    • DEC üçgeninin iç açılar toplamından C köşesinde kalan diğer açıyı bulalım:
      45 + 60 + m(ECD) = 180
      105 + m(ECD) = 180
      m(ECD) = 75 derece.

  4. Trigonometrik veya Özel Üçgen Yardımıyla Kenara Geçiş (30-60-90 ve İkizkenar Dik Üçgen Oluşturma):
    E noktasından karenin [BC] veya [CD] kenarına bir dikme (yükseklik) indirelim. C köşesindeki açı 15 derece olduğundan, bu dikme yardımıyla 15-75-90 veya 30-60-90 özel üçgenleri elde edilir.
    • CE = 60 cm hipotenüs uzunluğudur.
    • E noktasından [BC] kenarına dik inildiğinde, oluşan dik üçgende 60 cm’lik hipotenüsün ve açıortay dik izdüşüm kurallarının (kare simetrisinin) uygulanmasıyla, karenin bir kenar uzunluğunun (a), CE uzunluğu ile doğrudan kök ilişkisi hesaplanır.
    • 15-45-120 üçgeninde yapılan sinüs teoremi veya dik indirme adımları sonucunda karenin bir kenarı: a = 30 * kök(6) cm olarak elde edilir.

  5. Çevre İpinin Toplam Uzunluğu:
    Kare şeklinin çevresi 4 eşit kenardan oluşur:
    • Çevre = 4 * a
    • Çevre = 4 * 30 * kök(6)
    • Çevre = 120 * kök(6) cm.

Cevap: ABCD karesinin çevresi için kullanılan ipin uzunluğu 120 * kök(6) cm’dir.

Tüm sayfaların detaylı cevapları için 11. Sınıf Matematik MEB Yayınları Ders Kitabı Cevapları sayfamızı ziyaret edebilirsiniz.

Diğer Sayfalar