11. Sınıf Matematik MEB Yayınları Ders Kitabı Sayfa 95 Cevapları

7. Soru: Benzer Bir Önermenin İspatı
Soru Metni:
Ende ettiğiniz önermelerden birini 6. maddedeki ispat adımlarına benzer bir yöntem izleyerek ispatlayınız. Uyguladığınız ispatı kullanışlılık açısından değerlendiriniz.
Cevap:
  • Önerme: Bir yamukta, köşegenlerin orta noktalarını birleştiren doğru parçasının (KL çizgisi) uzunluğu, alt taban ile üst taban uzunlukları farkının yarısına eşittir.
  • İspat Adımları:
    1. ABCD yamuğunda [AC] ve [BD] köşegenleri çizilsin. K noktası [BD]’nin, L noktası [AC]’nin orta noktası olsun.
    2. [KL] uzatılarak yan kenara değdirildiğinde, üçgenlerdeki orta taban kuralları (benzerlik oranı 1/2 olan üçgenler) tek tek yazılır.
    3. Büyük üçgenin orta taban uzunluğundan (AB/2), küçük üçgenin orta taban uzunluğu (DC/2) çıkarıldığında ortada kalan KL uzunluğu elde edilir.
    4. Sonuç olarak KL = (AB – DC) / 2 bağıntısı kanıtlanmış olur.

  • Kullanışlılık Değerlendirmesi: Bu ispat yöntemi, karmaşık kuralları temel üçgen benzerliklerine (orta taban kurallarına) indirgediği için çok kullanışlıdır. Geometride bağımsız gibi duran şekillerin aslında birbirini doğurduğunu gösterir.

8. Soru: Gerçek Yaşam Durumu Problemi (Ağaçların Dikilmesi)
Soru Metni:
“Yeşil Vatan” için yanan ormanlerin yeniden oluşturulması amacıyla T.C. Orman Genel Müdürlüğü boyları sırasıyla 120 cm, 140 cm ve 160 cm olan çam, ıhlamur ve çınar ağaçlarını Şekil 1’deki sıralamayla dikmeyi planlamaktadır. K, L ve M noktaları doğrusaldır, [AK], [BL], [CM] doğruları d doğrusuna diktir. Dikilen noktalar sabit kalmak üzere üç ağaç Şekil 2’deki gibi dikildiğinde m(DEF) = 90 derece olmaktadır. Şekil 1 ve Şekil 2’de sırasıyla K, L, M ve D, E, F noktaları ağaçların uç noktalarıdır. Buna göre AC uzunluğunun kaç cm olduğunu bulunuz.
Verilen Boylar:
  • Çam = 120 cm
  • Ihlamur = 140 cm
  • Çınar = 160 cm

Adım Adım Çözüm:
  1. Şekil 1 Analizi (Yamukta Orta Taban Bağıntısı):
    • Şekil 1’de ağaçlar Çam (120 cm), Ihlamur (140 cm) ve Çınar (160 cm) sırasıyla dikilmiştir.
    • Uç noktaları K, L, M doğrusaldır. Bu doğrusal hat bir dik yamuk modeli oluşturur.
    • Ortadaki Ihlamur ağacının boyu (140), Çam (120) ile Çınar’ın (160) tam aritmetik ortalamasıdır: (120 + 160) / 2 = 140.
    • Bu durum bize L noktasının KM doğru parçasının tam orta noktası olduğunu gösterir. Dolayısıyla, tabandaki B noktası da AC doğru parçasının tam orta noktasıdır. Yani AB = BC durumundadır.

  2. Şekil 2 Analizi (Dik Üçgende Muhteşem Üçlü Bağıntısı):
    • Şekil 2’de ağaçların yerleri değiştirilmiştir: D noktasına Ihlamur (140 cm), E noktasına Çam (120 cm), F noktasına Çınar (160 cm) gelmiştir.
    • Ağaçların alt dikim noktaları (A, B, C) sabit kalmıştır. Dolayısıyla B noktası hala AC’nin orta noktasıdır (AB = BC).
    • Şekil 2’de ağaç uç noktalarının oluşturduğu m(DEF) açısı 90 derecedir. Yani DEF bir dik üçgendir.
    • Yer düzlemine paralel bir hat çizildiğinde veya zemin koordinat düzlemi olarak modellendiğinde; E noktasından (Çam’ın ucu) tabana inen dik izdüşümler ve dik üçgen özellikleri incelenir.
    • Geometride, bir dik üçgende doksan derecelik köşeden (E köşesinden) hipotenüsün orta noktasına çizilen doğru parçası, muhteşem üçlü (veya yamuk dik izdüşüm dengesi) kuralları uyarınca kenarlar arasındaki farkların Pisagor bağıntısına dönüşmesini sağlar.

  3. Kenar Uzunluklarının Hesaplanması:
    • E noktasından geçen ve d doğrusuna paralel bir hat çizerek yükseklik farklarına bakalım:
    • D noktasındaki Ihlamur (140 cm) ile E noktasındaki Çam (120 cm) arasındaki boy farkı: 140 – 120 = 20 cm.
    • F noktasındaki Çınar (160 cm) ile E noktasındaki Çam (120 cm) arasındaki boy farkı: 160 – 120 = 40 cm.
    • Öklid bağıntısı veya dik kenarların izdüşüm kuralları (m(DEF) = 90 derece olduğundan dolayı oluşan diklik bağıntısı) uygulandığında, ardışık dikmeler arasındaki AB ve BC yatay mesafelerinin kareleri, bu boy farklarının çarpımı ile ilişkilidir:
    • AB * BC = (Boy Farkı 1) * (Boy Farkı 2)
    • AB = BC olduğundan dolayı: AB^2 = 20 * 40 = 800
    • AB = kök(800) = 20 * kök(2) cm olur.
    • B noktası orta nokta olduğundan, BC uzunluğu da aynı şekilde 20 * kök(2) cm’dir.

  4. AC Toplam Uzunluğu:
    • AC = AB + BC
    • AC = 20 * kök(2) + 20 * kök(2) = 40 * kök(2) cm.

Cevap: AC uzunluğu 40 * kök(2) cm olarak bulunur.

Tüm sayfaların detaylı cevapları için 11. Sınıf Matematik MEB Yayınları Ders Kitabı Cevapları sayfamızı ziyaret edebilirsiniz.

Diğer Sayfalar